FUNÇÃO DE WEIERSTRASS
Author
Armand Azonnahin
License
Creative Commons CC BY 4.0
Abstract
Nesse artigo, propomos uma nova demonstração do Teorema de Weierstrass, usando apenas noções relativas às séries de Fourier.
Nesse artigo, propomos uma nova demonstração do Teorema de Weierstrass, usando apenas noções relativas às séries de Fourier.
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\begin{document}
\title[FUNÇÃO DE WEIERSTRASS] {FUN\c{C}\~{A}O DE WEIERSTRASS}
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\author[ARMAND AZONNAHIN ] {ARMAND AZONNAHIN }
\address{Mathematics Department, UFRGS\\
Porto Alegre {\rm }, Brazil}
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\received{\recd 25 March 2015. \revd 21 May 2015}
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\begin{abstract}
\end{abstract}
%\section{Introduction}
Defini\c{c}\~{a}o : \\
A fun\c{c}\~{a}o de Weierstrass \'{e} definida pela seguinte s\'{e}rie de Fourier :\\
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a^n\cos(b^n\pi x)$,
onde $a\in(0,1)$ e $b$ \'{e} um inteiro positivo \'{i}mpar tal que
$ab>1+\frac{3}{2}\pi$ .\\
Nova Demonstra\c{c}\~{a}o do Teorema de Weierstrass :\\
O nosso objetivo aqui \'{e} apresentar uma demonstra\c{c}\~{a}o do teorema de Weierstrass
usando apenas no\c{c}\~{o}es relativas \`{a}s s\'{e}ries de Fourier.\\
Teorema de Weierstrass :\\
A fun\c{c}\~{a}o dita de Weierstrass definida por :
$W(x)=\sum_{n=0}^{\infty}b^n\cos(a^n\pi x)$,
onde $b\in(0,1)$ e $a$ \'{e} um inteiro positivo \'{i}mpar tal que
$ab>1+\frac{3}{2}\pi$ , \'{e} cont\'{i}nua em $R$ e n\~{a}o diferenci\'{a}vel em qualquer ponto.
\\
Demonstra\c{c}\~{a}o do Teorema de Weierstrass : \\
Continuidade de $ W$ :\\
Observe que :
$b\in(0,1)$ implica $\sum_{n=0}^{\infty}b^n=\frac{1}{1-b}<\infty $.
Isso junto com $sup_{x\in R} |b^n\cos(a^n\pi x)|\leq b^n$ nos permite estabelecer , usando o Weierstrass $M-test$ , que $\sum_{n=0}^{\infty}b^n\cos(a^n\pi x)$ converge uniformemente para $W(x)$ em $R$ . \\
A Continuidade de $W$ vem ent\~{a}o da converg\^{e}ncia uniforme das s\'{e}ries.\\
(Defini\c{c}\~{a}o $2.41$ e Teorema $2.59$ do livro Harmonic Analysis:From Fourier to Wavelets) \\
N\~{a}o Diferenciabilidade de $W$ (em qualquer ponto) :\\
Aqui, usamos os lemas $3.2$ e $3.3$ do Cap\'{i}tulo $4$ do livro de ''Shakarchi''\\
Quando:
$2N=b^n$, ent\~{a}o
$ \Delta_{2N}(W)-\Delta_{N}(W)=b^n\cos(a^n\pi x)$;
Supondo que $W$ \'{e} diferenci\'{a}vel em $x_{0}$, obtemos o seguinte resultado :
$ \Delta_{2N}(W)'(x_{0})-\Delta_{N}(W)'(x_{0})=(b^n\cos(a^n\pi x))'=O(\log N)$,
ou seja,
$|(ab)^{n}sen(a^{n}(x_{0}+h))|=O(\log N)$, onde $|h|\leq c/N$.
Para obter a contradi\c{c}\~{a}o, precisamos apenas escolher $h<$ de modo que:
$|sen(a^{n}(x_{0}+h))|=1$;
Tomando:
$|h|=|\delta|/a^{n}$,
onde
$\delta=\pi(k+1/2)-a^{n}x_{0}$,
para algum $k\in Z$, temos:
$|(ab)^{n}sen(a^{n}(x_{0}+h))|=(ab)^{n}\rightarrow \infty $
quando $n\rightarrow \infty $ ,
pois
$ab>1+\frac{3}{2}\pi$ .
''Contradi\c{c}\~{a}o'', \\
pois :
$|(ab)^{n}sen(a^{n}(x_{0}+h))|=O(\log N)$.\\
Portanto, $W$ n\~{a}o \'{e} diferenci\'{a}vel em $x_{0}$ .
Como $x_{0}\in R$ \'{e} arbitr\'{a}rio,
temos que$W$ n\~{a}o \'{e} diferenci\'{a}vel em qualquer ponto.\\
Conclus\~{a}o :\\
A fun\c{c}\~{a}o de Weierstrass $W$ \'{e} cont\'{i}nua em todos os pontos de
$R$ mas n\~{a}o \'{e} diferenci\'{a}vel em qualquer ponto de $R$.\\
Refer\^{e}ncias :
*Harmonic Analysis:from Fourier
to Wavelets / Mar\'{i}a Cristina Pereyra ,\\ Lesley A. Ward / ISBN 978-0-8218-7566-7 \\
*Fourier Analysis:An introduction /Shakarchi; pp 116-117
\end{document}