\documentclass{article}
\usepackage{multicol}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{ragged2e}
\renewcommand{\abstractname}{Resumen}
\usepackage{physics}
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
%\parindent=0mm
\topmargin=-1cm
\textheight=22cm
\begin{document}
\begin{center}
{\huge \bf{Oscilaciones del Neutrino}}
\end{center}
\begin{center}
Daniel Ocampo Henao \\
{\it {\footnotesize Instituto de F\'isica, Facultad de Ciencias Exactas y naturales, Universidad de Antioquia, Medell\'in, Colombia.}}
\end{center}
\begin{abstract}
\noindent Las observaciones han mostrado que el n\'umero de neutrinos electr\'onicos $\nu_e$ que llegan a la tierra desde el sol es aproximadamente la mitad del n\'umero esperado de nuestro conocimiento de las reacciones nucleares que ocurren al interior del sol. Estas observaciones se explican como el resultado de que algunos neutrinos electr\'onicos $\nu_e $ se convierten en neutrinos mu\'onicos $\nu_\mu$ y neutrinos tau\'onicos $\nu_\tau$ durante su recorrido entre su creaci\'on al interior del sol y su observaci\'on en la tierra. Este cambio de un sabor a otro se conoce como oscilaciónes del neutrino.
Se introduce un t\'ermino de masa para el neutrino que es invariante de Lorentz en la densidad lagrangiana del modelo est\'andar (SM), y se describe el estado del neutrino $\ket{\nu_\alpha}$ ($\alpha=e,\mu,\tau$) como una combinaci\'on lineal de autoestados de masa $\ket{\nu_i}$ ($i=1,2,3$), lo cual conduce a las oscilaciones del neutrino. \\
\noindent {\bf Palabras clave:} Neutrino, Modelo est\'andar.
\end{abstract}
\begin{multicols}{2}
{\bf Introducci\'on} \\
Los neutrinos son part\'iculas fundamentales que aparecen en tres tipos (o sabores) que se nombran de acuerdo al lept\'on cargado con el que interact\'uan por medio de la interacción d\'ebil: neutrino electr\'onico $\nu_e$, neutrino mu\'onico $\nu_\mu$ y neutrino tau\'onico $\nu_\tau$. Son los \'unicos fermiones que no tienen carga y, seg\'un el modelo est\'andar (SM), no tienen masa. Neutrinos de un determinado sabor se crean, por ejemplo, en procesos nucleares acompañados por su correspondiente lept\'on cargado. En los procesos de reacciones nucleares al interior del sol se crean $\nu_e$ en el proceso prot\'on-prot\'on. En la atm\'osfera, se crean $\nu_e$ y $\nu_\mu$ mediante la colisión de rayos c\'osmicos con n\'ucleos presentes en la alta atm\'osfera. Esto crea una serie de hadrones, principalmente piones. Los piones decaen de la forma $\pi^- \rightarrow \mu^- + \overline{\nu}_\mu$. A su vez el mu\'on decae de la forma $\mu^- \rightarrow e^- + \nu_\mu + \overline{\nu}_e $ (de manera similar decaen los $\pi^+$ y $\mu^+$). Las observaciones han mostrado que el n\'umero de $\nu_e$ que llegan a la tierra desde el sol es aproximadamente la mitad del n\'umero esperado de nuestro conocimiento de las reacciones nucleares que ocurren al interior del sol. Estas observaciones se explican como el resultado de que algunos $\nu_e$ se convierten en $\nu_\mu$ y $\nu_\tau$ durante su recorrido entre su creaci\'on al interior del sol y su observaci\'on en la tierra. De igual manera, los neutrinos creados en la atm\'osfera pueden cambiar de sabor si viajan grandes distancias. En 2001 el Sudbury Neutrino Observatory (SNO) verific\'o la transformación de $\nu_e$ provenientes del sol en $\nu_\mu$ y $\nu_\tau$. En 1998, el experimento Super-Kamiokande confirm\'o la transmutaci\'on de los neutrinos creados en la alta atm\'osfera. Este cambio de un sabor a otro se conoce como oscilaciónes del neutrino. La confirmaci\'on de estas oscilacines lleva a dos conclusiones: 1) Los neutrinos se mezclan como los quarks, lo que significa que los estados de sabor son superposiciones lineales de autoestados de masa con energ\'ia y momento bien definido. 2) Los tres autoestados de masa no pueden tener la misma relaci\'on de energ\'ia-momento. Las oscilaciones del neutrino constituyen una evidencia de que hay f\'isica m\'as all\'a del SM, ya que este postula que los neutrinos no tienen masa.
En este art\'iculo se pretende mostrar c\'omo se puede introducir un t\'ermino de masa para los neutrinos en la densidad lagrangiana del SM, y se describe el estado del neutrino $\ket{\nu_\alpha}$ ($\alpha=e,\mu,\tau$) como una combinaci\'on lineal de autoestados de masa $\ket{\nu_i}$ ($i=1,2,3$), lo cual conduce a las oscilaciones del neutrino. \\
{\bf Lagrangiano para el neutrino con masa en el SM} \\
\noindent El t\'ermino de masa para el neutrino, invariante de Lorentz, m\'as general posible que se puede introducir en la densidad lagrangiana del modelo est\'andar es
\begin{equation}
\mathcal{L}_{mass} ^{\nu}=-(\nu_\alpha ^{L})^{\dagger} m_{\alpha \beta} \nu_{\beta} ^{R} - (\nu_\beta ^{R})^{\dagger} m_{\beta \alpha} ^* \nu_{\alpha} ^{L}
\end{equation}
\noindent donde $m_{\alpha \beta}$ es una matriz compleja 3x3 arbitraria, $\alpha$ y $\beta$ corren sobre los tres tipos de neutrino $e,\mu,\tau$, y $\nu_\alpha ^{L}$, $\nu_{\beta} ^{R}$ son campos espinoriales de dos componentes izquierdo y derecho respectivamente.
Una matriz compleja arbitraria puede ser diagonalizada con ayuda de dos matrices unitarias ${\bf U^{L}}$ y ${\bf U^{R}}$ de la siguiente manera
$$m_{\alpha \beta}=U_{\alpha i} ^{L *}m_{i} U_{\beta i} ^{R}$$
$$m_{\beta \alpha} ^*=U_{\beta i} ^{R *}m_{i} U_{\alpha i} ^{R}$$
\noindent donde $m_i$ son tres masas positivas y reales. Si ahora definimos los autoestados de masa como
\begin{equation}
\nu_i ^{L}=U_{\alpha i} ^{L} \nu_{\alpha} ^{L}
\end{equation}
\begin{equation}
\nu_i ^{R}=U_{\alpha i} ^{R} \nu_{\alpha} ^{R}
\end{equation}
El t\'ermino de masa toma la forma
\begin{eqnarray}
\mathcal{L}_{mass} ^{\nu}&=&-(\nu_\alpha ^{L})^{\dagger} U_{\alpha i} ^{L *}m_{i} U_{\beta i} ^{R} \nu_{\beta} ^{R} - (\nu_\beta ^{R})^{\dagger} U_{\beta i} ^{R *}m_{i} U_{\alpha i} ^{L} \nu_{\alpha} ^{L} \nonumber \\
&=&-m_{i} \left[(U_{\alpha i} ^{L} \nu_\alpha ^{L})^{\dagger}U_{\beta i} ^{R} \nu_{\beta} ^{R} + (U_{\beta i} ^{R} \nu_{\beta} ^{R})^{\dagger} U_{\alpha i} ^{L} \nu_{\alpha} ^{L}\right] \nonumber \\
&=&-m_i \left[ (\nu_i ^L)^\dagger \nu_i ^R + (\nu_i ^R)^\dagger \nu_i ^L \right] \nonumber
\end{eqnarray}
que tiene la misma forma del t\'ermino de masa est\'andar de Dirac $-m(\psi_L^\dagger \psi_R + \psi_R^\dagger \psi_L )$. Veamos que las transformaciones dadas por las ecuaciones (2) y (3) conservan la forma del t\'ermino din\'amico:
\begin{eqnarray}
\mathcal{L}_{dyn} ^\nu = i\left[ (\nu_\alpha ^{L})^{\dagger} \bar{\sigma}^\mu \partial_\mu \nu_\alpha ^{L} + (\nu_\alpha ^{R})^{\dagger} \sigma^\mu \partial_\mu \nu_\alpha ^{R} \right] \nonumber \\
= i \left[ (\nu_\alpha ^{L})^{\dagger} \bar{\sigma}^\mu \partial_\mu (U_{\alpha i} ^{L})^\dagger (U_{\alpha i} ^{L}) \nu_\alpha ^{L} + (\nu_\alpha ^R)^\dagger \sigma^\mu \partial_\mu (U_{\alpha i} ^R)^\dagger (U_{\alpha i} ^R) \nu_\alpha ^R \right] \nonumber \\
= i\left[ (U_{\alpha i} ^{L} \nu_\alpha ^{L} )^{\dagger} \bar{\sigma}^\mu \partial_\mu U_{\alpha i} ^{L} \nu_\alpha ^{L} + (U_{\alpha i} ^{R} \nu_\alpha ^{R} )^\dagger \sigma^\mu \partial_\mu U_{\alpha i} ^{R} \nu_\alpha ^{R} \right] \nonumber \\
= i \left[(\nu_i ^{L})^\dagger \bar{\sigma}^\mu \partial_\mu \nu_i ^{L} + (\nu_i ^{R})^\dagger \sigma^\mu \partial_\mu \nu_i ^{R} \right] \nonumber
\end{eqnarray}
\noindent luego la densidad lagrangiana de neutrinos libres de masas $m_1$, $m_2$ y $m_3$ es
\begin{eqnarray}
\mathcal{L}^\nu=\mathcal{L}_{mass} ^\nu + \mathcal{L}_{dyn} ^\nu \nonumber \\
= -(\nu_\alpha ^{L})^{\dagger} m_{\alpha \beta} \nu_{\beta} ^{R} - (\nu_\beta ^{R})^{\dagger} m_{\beta \alpha} ^* \nu_{\alpha} ^{L} \nonumber \\
+ i\left[ (\nu_\alpha ^{L})^{\dagger} \bar{\sigma}^\mu \partial_\mu \nu_\alpha ^{L} + (\nu_\alpha ^{R})^{\dagger} \sigma^\mu \partial_\mu \nu_\alpha ^{R} \right] \nonumber \\
= -m_i \left[ (\nu_i ^L)^\dagger \nu_i ^R + (\nu_i ^R)^\dagger \nu_i ^L \right] \nonumber \\
+ i \left[(\nu_i ^{L})^\dagger \bar{\sigma}^\mu \partial_\mu \nu_i ^{L} + (\nu_i ^{R})^\dagger \sigma^\mu \partial_\mu \nu_i ^{R} \right]
\end{eqnarray}
\noindent Ahora, como ${\bf U^{L}}$ y ${\bf U^{R}}$ son matrices unitarias podemos invertir las ecuaciones (2) y (3) para obtener
\begin{eqnarray}
\nu_\alpha ^{L} = (U_{\alpha i} ^{L})^* \nu_i ^{L} \\
\nu_\alpha ^{R} = (U_{\alpha i} ^{R})^* \nu_i ^{R}
\end{eqnarray}
\noindent de donde observamos que los neutrinos $e$, $\mu$ y $\tau$ son mezclas de neutrinos con masa definida $\nu_i$. Veremos que esto lleva al fen\'omeno de oscilaci\'on de los neutrinos. \\
\noindent La densidad lagrangiana $\mathcal{L}^\nu$ para neutrinos libres lleva a las siguientes ecuaciones de movimiento:
\begin{eqnarray}
\partial_\mu \left[\frac{\partial \mathcal{L}^\nu}{\partial (\partial_\mu \nu_\alpha ^{L} )}\right] - \frac{\partial \mathcal{L}^\nu}{\partial \nu_\alpha ^{L} } &=& 0 \nonumber \\
i \partial_\mu \left[(\nu_\alpha ^{L})^\dagger \bar{\sigma}^\mu \right] + (\nu_\beta ^{R})^\dagger m_{\beta \alpha} ^* &=& 0 \nonumber \\
i \bar{\sigma}^\mu \partial_\mu \nu_\alpha ^{L} - m_{\alpha \beta} \nu_\beta ^{R} &=& 0
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\partial_\mu \left[\frac{\partial \mathcal{L}^\nu}{\partial (\partial_\mu \nu_\alpha ^{R} )}\right] - \frac{\partial \mathcal{L}^\nu}{\partial \nu_\alpha ^{R} } &=& 0 \nonumber \\
i \partial_\mu \left[(\nu_\alpha ^{R})^\dagger \sigma^\mu \right] + (\nu_\beta ^{L})^\dagger m_{\alpha \beta} &=& 0 \nonumber \\
i \sigma^\mu \partial_\mu \nu_\alpha ^{R} - m_{\beta \alpha}^* \nu_\beta ^{L} &=& 0
\end{eqnarray}
\noindent Interpretaremos las soluciones a estas ecuaciones como funciones de onda de neutrinos para los tres tipos $\alpha=e,\mu,\tau$, no como campos de neutrinos. Buscaremos autoestados de energ\'ia con dependencia temporal $e^{-iEt}$.
Neutrinos de cero masa tendr\'ian soluciones en ondas planas. Para una onda en la direcci\'on $z$ $$\nu_\alpha ^{L} (z,t)=e^{-iE(t-z)}f_\alpha \displaystyle{0 \choose 1}, \ \ \ \ \ \nu_\alpha ^{R}=0$$
donde $f_\alpha$ son constantes. La introducci\'on de masas para el neutrino modifica estas soluciones permitiendo que las $f_\alpha$ dependan de $z$:
\begin{eqnarray}
\nu_\alpha ^{L} (z,t)=e^{-iE(t-z)}f_\alpha (z) \displaystyle{0 \choose 1} \\
\nu_\alpha ^{R} (z,t)=e^{-iE(t-z)}g_\alpha (z) \displaystyle{0 \choose 1}
\end{eqnarray}
\noindent Llevando estas soluciones a las ecuaciones de Dirac (7) y (8) resulta \\
%\begin{eqnarray}
$i \bar{\sigma}^0 \partial_0 \nu_\alpha ^{L}(z,t) + i\bar{\sigma}^3 \partial_3 \nu_\alpha ^{L}(z,t) - m_{\alpha \beta} \nu_\beta ^{R}(z,t) = 0$ \\ %\nonumber \\
$i \bar{\sigma}^0 \frac{\partial}{\partial t} \left[ e^{-iE(t-z)}f_\alpha (z) \displaystyle{0 \choose 1} \right] + i\bar{\sigma}^3 \frac{\partial}{\partial z} \left[ e^{-iE(t-z)}f_\alpha (z) \displaystyle{0 \choose 1} \right]$ \\ %\nonumber \\
$- m_{\alpha \beta} e^{-iE(t-z)}g_\beta (z) \displaystyle{0 \choose 1} = 0 $ \\ %\nonumber \\
$E f_\alpha (z) \bar{\sigma}^0 \displaystyle{0 \choose 1} - E f_\alpha (z) \bar{\sigma}^3 \displaystyle{0 \choose 1} + i \frac{d}{dz} f_\alpha (z) \bar{\sigma}^3 \displaystyle{0 \choose 1} - m_{\alpha \beta} g_\beta (z) \displaystyle{0 \choose 1} =0$ \\ %\nonumber \\
\begin{eqnarray}
\Rightarrow i \frac{d}{dz}f_\alpha (z) - m_{\alpha \beta} g_\beta (z) =0
\end{eqnarray}
$i \sigma^0 \partial_0 \nu_\alpha ^{R}(z,t) + i\sigma^3 \partial_3 \nu_\alpha ^{R}(z,t) - m_{\beta \alpha} ^* \nu_\beta ^{L}(z,t) =0 $ \\%\nonumber \\
$i \sigma^0 \frac{\partial}{\partial t} \left[ e^{-iE(t-z)}g_\alpha (z) \displaystyle{0 \choose 1} \right] + i \sigma^3 \frac{\partial}{\partial z} \left[ e^{-iE(t-z)}g_\alpha (z) \displaystyle{0 \choose 1} \right] - m_{\beta \alpha} ^* e^{-iE(t-z)}f_\beta (z) \displaystyle{0 \choose 1} = 0$ \\%\nonumber \\
$E g_\alpha (z) \sigma^0 \displaystyle{0 \choose 1} - E g_\alpha (z) \sigma^3 \displaystyle{0 \choose 1} + i \frac{d}{dz} g_\alpha (z) \sigma^3 \displaystyle{0 \choose 1} - m_{\beta \alpha}^* f_\beta (z) \displaystyle{0 \choose 1} =0 $ \\ %\nonumber \\
\begin{eqnarray}
\Rightarrow \left(2E - i\frac{d}{dz}\right)g_\alpha (z) - m_{\beta \alpha}^* f_\beta (z) = 0
\end{eqnarray}
\noindent donde se ha utilizado $\bar{\sigma}^3 \displaystyle{0 \choose 1} = -\sigma^3 \displaystyle{0 \choose 1} = \displaystyle{0 \choose 1}$, $\sigma^3 \displaystyle{0 \choose 1} = -\displaystyle{0 \choose 1}$ y $\bar{\sigma}^0 \displaystyle{0 \choose 1} = \sigma^0 \displaystyle{0 \choose 1}={\bf{I}} \displaystyle{0 \choose 1} = \displaystyle{0 \choose 1}$. \\
\noindent Para energ\'ias del neutrino mucho mayores que su masa podemos despreciar $-i\frac{d}{dz}g_\alpha (z)$ comparado con $2Eg_\alpha (z)$ para obtener
\begin{eqnarray}
g_\gamma = \frac{m_{\gamma \beta}^* f_\gamma (z)}{2E}
\end{eqnarray}
\noindent y as\'i, por sustituci\'on, obtenemos tres ecuaciones acopladas para $f_\alpha (z)$: (haciendo $ \alpha \rightarrow \beta $, $\beta \rightarrow \gamma$, $\gamma \rightarrow \alpha$)
\begin{eqnarray}
i \frac{d}{dz} f_\beta (z) = \frac{m_{\beta \gamma} m_{\alpha \gamma}^* f_\alpha}{2E}
\end{eqnarray}
\noindent Diagonalizando las matrices $m_{\beta \gamma}$ y $m_{\alpha \gamma}^*$ de la forma $m_{\beta \gamma}=U_{\beta i} ^{L *}m_{i} U_{\gamma i} ^{R}$ y $m_{\alpha \gamma} = U_{\alpha j} ^{L *}m_{j} U_{\gamma j} ^{R}$
\begin{eqnarray}
i\frac{d}{dz}f_\beta (z) &=& \frac{U_{\beta i} ^{L *}m_{i} U_{\gamma i} ^{R} U_{\gamma j} ^{R *}m_{j}^* U_{\alpha j} ^{L} f_\alpha (z)}{2E} \nonumber \\
&=&\frac{U_{\beta i} ^{L *}m_{i} \delta_{ij} m_{j}^* U_{\alpha j} ^{L} f_\alpha (z)}{2E} \nonumber \\
&=&\frac{U_{\beta i} ^{L *} U_{\alpha i} ^{L} m_{i} m_{i}^* f_\alpha (z)}{2E} \nonumber \\
&=&\frac{U_{\beta i}^* U_{\alpha i} m_{i}^2 f_\alpha (z)}{2E}
\end{eqnarray}
\noindent (Como no aparece ${\bf{U}}^R$, se hace ${\bf{U}}^L = \bf{U}$). Para resolver las ecuaciones (15) formamos combinaciones lineales de la forma
\begin{equation}
f_i (z)=U_{\beta i} f_\beta (z)
\end{equation}
\noindent las cuales satisfacen, utilizando (15)
\begin{eqnarray}
i \frac{d}{dz}f_i (z)&=&U_{\beta i} \frac{d}{dz} f_\beta (z) \nonumber \\
&=&\frac{U_{\beta i} U_{\beta j}^* U_{\alpha j} m_{j}^2 f_\alpha (z)}{2E} \nonumber \\
&=&\frac{\delta_{ij} U_{\alpha j} m_{j}^2 f_\alpha (z)}{2E} \nonumber \\
&=&\frac{m_{i}^2 U_{\alpha i} f_\alpha (z)}{2E} \nonumber \\
\Rightarrow i \frac{d}{dz}f_i (z)&=&\left(\frac{m_i^2}{2E}\right)f_i (z)
\end{eqnarray}
\noindent Estas ecuaciones que hemos obtenido son desacopladas y tienen como soluciones
\begin{eqnarray}
f_i (z)=e^{-i(m_{i}^2 / 2E )z} f_i (0)
\end{eqnarray}
As\'i, de (2) y (9), podemos obtener la funci\'on de onda para el neutrino $\nu_i$:
\begin{eqnarray}
\nu_i (z,t)&=&U_{\alpha i} \nu_{\alpha} (z,t) \nonumber \\
&=&e^{-iE(t-z)}U_{\alpha i}f_\alpha (z) \nonumber \\
&=&e^{-iE(t-z)}f_i (z) \nonumber \\
&=&e^{-iE(t-z)}e^{-i(m_{i}^2 / 2E )z} f_i (0) \nonumber \\
\Rightarrow \nu_i (z,t)&=&e^{-iEt+i(E-m_{i}^2/2E)z}f_i (0)
\end{eqnarray}
\noindent Este estado tiene energ\'ia $E$ y momento $p_i^2=E-m_{i}^2 + m_i^4/4E^2$. Para $m_i^2 \ll E^2 \Rightarrow p_i^2=E^2-m_i^2$, la cual es la relaci\'on relativista para una part\'icula de masa $m_i$. En consecuencia, el neutrino $\nu_i$ transporta una masa $m_i$. ($\nu_i (z,t)$ son las funciones de onda izquierdas de $\nu_i^L$.)
Supongamos que en $z=0$ se crea un neutrino de clase $\alpha$. La función de onda para $\nu_\alpha$ es una superposici\'on lineal de autoestados de masa $\nu_i$.
\begin{eqnarray}
f_\beta (z) &=& U_{\beta i}^* f_i(z) \nonumber \\
&=& U_{\beta i}^* e^{-i(m_{i}^2/2E)z}f_i (0)\nonumber \\
&=& U_{\beta i}^* e^{-i(m_{i}^2/2E)z} U_{\alpha i} f_\alpha (0)
\end{eqnarray}
\noindent Diferentes autoestados de masa se propagan con diferentes fases por lo que el tipo de neutrino cambia con $z$. Esta es la base te\'orica de las oscilaciones del neutrino.
Una vez encontrada esta funci\'on de onda para el neutrino se pueden encontrar cantidades como la probabilidad de que se de el proceso $\nu_\alpha \rightarrow \nu_\beta$, que se calcula con la amplitud de la funci\'on de onda y con las matrices de mezcla lept\'onica ${\bf U}$, aunque el desarrollo matem\'atico est\'a fuera del objetivo de este art\'iculo.\\
\end{multicols}
{\bf Referencias} \\
[1] W. N. Cottingham and D. A. Greenwood, {\it An Introduction to the Standar Model of Physics}, Cambridge University Press, Second Edition, 2001. \\
[2] B.Kayser, {\it Neutrino Mass, Mixing, and Flavor Change}, Fermilab, 2008. \\
[3] C. Waltham, {\it Neutrino Oscillations for Dummies}, arXiv:physics/0303116 \\
[4] J.S Diaz, {\it Violation of Lorentz and CPT invariance}. Tomado de https://www.itp.kit.edu/~jsdiaz/
\end{document}
