2022年第七届数维杯数学建模
Author:
维杯数学建模组委会
Last Updated:
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License:
Creative Commons CC BY 4.0
Abstract:
2022年第七届数维杯数学建模
\begin
Discover why 18 million people worldwide trust Overleaf with their work.
2022年第七届数维杯数学建模
\begin
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tcn ={\xiaowuhao 1001 }(\textcolor{red}{\textit{需要修改为自己队伍的实际队号}}), problem = A,
sheet = true, titleinsheet = false, keywordsinsheet = true,
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\renewcommand{\appendixtocname}{附\quad录}
\renewcommand{\appendices}{\hspace{-2em}{\sanhao\HEI {\bf 附~~~录}}}
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\title{\textcolor{red}{论文的题目（三号黑体）}}
\date{}
\usepackage[font=small,labelfont={bf,sf},tableposition=top]{caption}
\begin{document}
\begin{abstract}
\input{Abstract}
\begin{keywords}
{\song\xiaosihao
\textcolor{red}{使用到的模型名称、方法名称、特别是亮点一定要在关键字里出现，3$\sim$ 5个较合适。}}
\end{keywords}
\begin{itemize}
\item \textcolor{blue}{前面一页必须使用模板格式（黑色部分），否则论文检测不通过。}
\item \textcolor{blue}{ 目录页为论文开始处，论文正文用阿拉伯数字从“1”开始连续编号，页码位于每页页脚中部。（鼓励使用目录）}
\end{itemize}
\end{abstract}
\maketitle
\renewcommand{\contentsname}{\centerline{\sanhao\bfseries\HEI 目\quad 录}}
%\thispagestyle{empty}
%{\song\xiaosihao
\tableofcontents
%}
\newpage
\setcounter{page}{1}
\pagestyle{fancy}
\section{问题重述}
\subsection{引言}
\input{Introduction}
\subsection{要解决的具体问题}
\begin{enumerate}
\item \textcolor{red}{问题一：问题一的重述，重述语言简洁明了，突出模型中第一个要解决的问题，突出核心。}
\item \textcolor{red}{问题二：问题二的重述。}
\item \textcolor{red}{问题三：问题三的重述。}
\item \textcolor{red}{问题四：问题四的重述。}
\end{enumerate}
\section{问题分析}
\textcolor{red}{主要是表达对题目的理解，特别是对附件的数据进行必要分析、描述（一般都有数据附件），这是需要提到分析数据的方法、理由。如果有多个小问题，可以对每个小问题进行分别分析。问题分析中不给出结果，结果在摘要中给出。
（假设有2个问题）}
\subsection{问题一的分析}
\textcolor{red}{对问题1研究的意义的分析。
问题1属于$\cdots\cdots$数学问题，对于解决此类问题一般数学方法的分析。
对附件中所给数据特点的分析。
对问题1所要求的结果进行分析。
由于以上原因，我们可以将首先建立一个$\cdots\cdots$的数学模型I,然后将建立一个$\cdots\cdots$的模型II,$\cdots\cdots$对结果分别进行预测，并将结果进行比较.
}
\subsection{问题二的分析}
\textcolor{red}{对问题2研究的意义的分析。
问题2属于$\cdots\cdots$数学问题，对于解决此类问题一般数学方法的分析。
对附件中所给数据特点的分析。
对问题2所要求的结果进行分析。
由于以上原因，我们可以将首先建立一个$\cdots\cdots$的数学模型I,然后将建立一个$\cdots\cdots$的模型II,$\cdots\cdots$对结果分别进行预测，并将结果进行比较.
}
$\cdots\cdots$
\section{模型假设}
\begin{enumerate}
\item 模型的假设要结合整个模型的建立作出的一个合理的假设，不能过于理想化，要尽量切合实际问题的处理来做出相应的合理的假设；
\item 模型假设二；
\item 模型假设三；
\end{enumerate}
\section{名词解释与符号说明}
\textcolor{red}{一般都会有符号解释和说明，对于一些装有的专有名词解释，需要的时候就需要对其进行解释与说明，我们以下面几个例子为例。}
\subsection{名词解释与说明}
\begin{enumerate}
\item \wordc{理论通行能力：}理论通行能力是指每一条车道~(或每一条道路) 在单位时间内
能够通过的最大交通量。
\begin{figure}[h!t]
\centerline{\includegraphics[scale=0.4]{gonghao}}
\caption{ 图~1的标题名称}
\end{figure}
关于插图、绘图、表格以及公式等相关资源请点击~\href{http://www.latexstudio.net}{\textcolor{blue}{\LaTeX{}工作室}}
\item \wordc{修正通行能力：}在具体条件下，通过修正系数对理论通行能力修正后得到的单
位时间内所能通过的最大交通量。
\end{enumerate}
\subsection{主要符号与说明}
%tab1
\begin{table}[h!]
\centering
\small
\begin{tabular}{p{60pt}<{\centering}|p{60pt}<{\centering}p{180pt}<{\raggedright}}
\hline
\headcol 序号 & 符号 & 符号说明 \\
\hline
1 & $\nu$ & 行车速度（km/h） \\
2 & t$_{\min}$ & 车头最小时距（s） \\
3 & $J_{\rm a}$ & 车头最小间隔（m） \\
4 & $J_{\rm z}$ & 车辆平均长度（m） \\
5 & $J_{\gamma}$ & 车辆的制动距离（m） \\
6 & $J_{\max}$ & 司机在反应时间内车辆行驶的距离（m） \\
7 & $A_{\max}$ & 最大交通量 \\
8 & $\alpha_{1}$ & 车道数修正系数 \\
9 & $\alpha_{2}$ & 车道宽度和侧向净宽修正系数 \\
10 & $\alpha_{3}$ & 大型车修正系数 \\
11 & $\alpha_{4}$ & 驾驶员技术水平修正系数 \\
12 & $K_{j}$ & 阻塞密度 \\
13 & $\nu_{f}$ & 自由车速 \\
$\cdots$ & $\cdots$\\
\hline
\end{tabular}
%\caption{符号与说明}
\label{symbol}
\end{table}
\section{模型的建立与求解}
数据的预处理：
1. $\cdots\cdots$数据全部缺失，不予考虑。
2. 对数据测试的特点，如周期等进行分析。
3. $\cdots\cdots$数据残缺，根据数据挖掘等理论根据$\cdots\cdots$变化趋势进行补充。
4. 对数据特点（后面将会用到的特征）进行提取。
用$\cdots\cdots$软件聚类分析和各个不同问题的需要，采得$\cdots\cdots$组采样，每组5-8个采样值。将采样所对应的特征值进行列表或图示。
根据数据特点，对总体和个体的特点进行比较，以表格或图示方式显示。
\subsection{问题一的分析和求解}
\subsubsection{***模型的建立}
模型建立的内容要点如下：
模型的主要类别：
几种常见的建模目的：
建模过程常见的几个要点：
模型的基本要求：
模型选择要点：
加分项（能在规定时间内做完后还有足够时间的再考虑加分项）：
1、鼓励创新。在能解决问题的基础上，对经典模型进行改进，欣赏独树一帜、有创新性的模型，但要合理。
2、对于同一问题使用两个或以上合理模型进行求解。避免出现单纯罗列模型，又不做对比和评价的现象。
\begin{figure}[h!t]
\centerline{
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
\foreach \y [count=\n] in {
{74,25,39,20,3,3,3,3,3},
{25,53,31,17,7,7,2,3,2},
{39,31,37,24,3,3,3,3,3},
{20,17,24,37,2,2,6,5,5},
{3,7,3,2,12,1,0,0,0},
{3,7,3,2,1,36,0,0,0},
{3,2,3,6,0,0,45,1,1},
{3,3,3,5,0,0,1,23,1},
{3,2,3,5,0,0,1,1,78},
} {
\foreach \x [count=\m] in \y {
\node[fill=yellow!\x!blue, minimum size=6mm, text=white] at (\m,-\n) {\x};
}
}
\end{tikzpicture}\quad
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
\foreach \y [count=\n] in {
{74,25,39,20,3,3,3,3,3},
{25,53,31,17,7,7,2,3,2},
{39,31,37,24,3,3,3,3,3},
{20,17,24,37,2,2,6,5,5},
{3,7,3,2,12,1,0,0,0},
{3,7,3,2,1,36,0,0,0},
{3,2,3,6,0,0,45,1,1},
{3,3,3,5,0,0,1,23,1},
{3,2,3,5,0,0,1,1,78},
} {
\foreach \x [count=\m] in \y {
\node[fill=yellow!\x!purple, minimum size=6mm, text=white] at (\m,-\n) {\x};
}
}
\end{tikzpicture}
}
\caption{图~2的标题名称}
\end{figure}
参考话术：我们需要解决的问题是$\cdots\cdots$，题目要求是$\cdots\cdots$，剔除$\cdots\cdots$数据后选用何种类型的模型优点进行分析。具体步骤123$\cdots$
\subsubsection{***模型的求解}
\textcolor{red}{将预处理数据带入上述模型，通过$\cdots$软件得到$\cdots$结果。（编程代码详见附件*）。模型求解及结果需要图文并茂，用数据说话 用图展示。具体步骤123$\cdots$}
\begin{align}
A_{\max}& =\dfrac{3600}{t_{\min}}=\dfrac{3600}{J_{\min} /(v / 3.6)}
=\dfrac{1000 v}{J_{\min }}(\text{辆 } / h) \\
J_{\min}& =J_{\rm r}+J_{z}+J_{\rm a}
\end{align}
\subsubsection{***结果}
\textcolor{red}{针对于每一个问题的结果综述总结。}
\subsection{问题 三的求解和分析 的求解和分析 的求解和分析}
\subsubsection{对问题的分析}
问题 三要求我们 $\cdots$。
\subsubsection{对问题的求解}
\textbf{模型 Ⅱ—基于 负荷度 负荷度 分析 的小区开放影响度综合评价}
（1）模型的准备
1）负荷度介绍
负荷度（ V/CV/CV/C）是指在理想条件下，最大服务交通量与基本行能力之比．
2）数据处理
将道路分为主干和次，其要参数详见 表 10
\begin{table*}[h!]
\centering
\small
\tabcolsep 2.5pt
\caption{主次道路参数表}
\begin{tabular*}{0.8\linewidth}{p{60pt}<{\centering}p{60pt}<{\centering}
p{60pt}<{\centering}p{80pt}<{\centering}p{80pt}<{\centering}}
\toprule
道路类型 & 主干路 & 支干路 & 小区内宽道路 & 小区内窄道路 \\
\midrule
行车速度 & 50 km / h & 40 km / h & 30 km / h & 20 km / h \\
车道数 & 4 & 3 & 2 & 1 \\
\bottomrule
\end{tabular*}
\label{tab10}
\end{table*}
（2）模型的建立
1）小区的分类
根据小区结构，周边道路分布形状和周边道路车道数的不同，我们将小区分
别分为~4、2、3 类，小区的分类结果详见表~11
2）计算周边各路段及交叉口的通行能力
对于周边各路段的通行能力，我们运用问题二已建立的模型进行计算．在此
基础上对于交叉口的通行能力交叉口~G 我们建立公式如下：
\begin{align}
G_{\text{交又口}}& =\sum_{i=1}^{n} G_{i} \\
G_{i}& =\sum_{j=1}^{k} C_{j}
\end{align}
其中，$C_{j}$ 为进口各车道的通行能力，$ G_{i}$ 为交叉口各进口的通行能力．
3）建立影响度综合评价体系~[9][10][11]
我们采用先单项评价再综合评价的方法，其总体思路见表~12
\begin{table*}[h!]
\centering
\small
\tabcolsep 2.5pt
\caption{小区分类表}
\begin{tabular*}{0.8\linewidth}{p{100pt}<{\centering}|p{60pt}<{\raggedright}|p{180pt}<{\raggedright}}
\hline
分类标准 & 类型名称& 类型说明\\
\hline
\multirow{4}*{小区结构 }& A组团有序型 & 小区楼房呈组团型分布,每一区域间隔较大,开放后小区
道路较宽,且区域间分布有序\\
& B紧凑有序型 & 小区楼房间隔紧凑,且排列有序,开放后道路网格呈“街
区型”,特点为“高密度、窄路宽．\\
&C组团无序型& 小区楼房呈组团式分布,每一区域间隔较大,开放后小区
道路较宽,但区域间分布杂乱小区楼房间隔紧凑,但排列杂乱,开放后小区道路呈现“低\\
&D紧凑无序型&密度,窄路宽”的特点\\
\multirow{2}*{周边道路形状分布}& 四周围绕型&四周均为道路\\
&半边包围型&半边围绕道路\\
\multirow{3}*{车道数(针对半封闭性)}& 主干道型 & 两条道路均为主干道\\
&次干道型 & 两条道路均为次干道\\
&混合型& 两条道路一主一次\\
\hline
\end{tabular*}
\label{tab11}
\end{table*}
\begin{table*}[h!]
\centering
\small
\tabcolsep 2.5pt
\caption{综合评价思路表}
\begin{tabular*}{0.8\linewidth}{p{100pt}<{\centering}|p{160pt}<{\raggedright}|p{80pt}<{\raggedright}}
\hline
评价性质 & 评价内容 & 评价指标 \\
\hline
\multirow{2}*{ 单项评价 } & \multirow{2}*{ 局部路段及交叉口交通负荷影响 } & 路段影响度 \\
& &交叉口影响\\
\multirow{2}*{ 综合评价 } & \multirow{2}*{整个路网交通负荷影响} &平均路段影响度 \\
&&平均交叉口影响度\\
\hline
\end{tabular*}
\label{tab12}
\end{table*}
A. 负荷度单项评价
a. 封闭式小区开放后，新增小区内道路对于周边某一路段i 的影响度 $K_{si}$
根据公式计算：
\begin{align}
K_{s i}&=\dfrac{I_{s i p}-I_{s i b}}{B_{s i}} \\
I_{s i p}& =I_{s i b}+a
\end{align}
其中，$I _{sip}$ 为小区道路建成后路段 i 上高峰小时交通量，$I _{sib}$ 为不考虑小区道
路建成后新增交通量的情况下，路段 i 的高峰小时交通量， $B_{s i}$ 为路段 $i$ 的设计
通行能力，$a$ 为开放后小区道路的通行量．
b. 封闭式小区开放后，新增小区内道路对于周边道路交叉口的影响度 $K_{c i}$
根据公式计算:
\begin{align}
K_{c i}=\dfrac{I_{c i p}-I_{c b}}{B_{c t}}
\end{align}
其中，$K_a$ 为小区道路建成后对交叉口 i 的影响度，$I_{crp}$ 为小区道路建成后交 叉口 $i$
上高峰小时交通量， $ I_{c i b}$ 为不考虑小区道路建成后新增交通量的情况下, 交叉口 i 的
高峰小时交通量， $B_{c i}$ 为交叉口 $i$ 的设计通行能力．
\begin{figure}[h!t]
\centerline{\includegraphics[scale=1]{fig1.pdf}}
\caption{\song\wuhao 图~3的标题名称}
\end{figure}
\section{模型的评价与推广 模型的评价与推广}
\textcolor{red}{将模型进行数值计算，并与附件中的真实采样值（进行列表或图示）比较。对误差进行数据分析，给出误差分析的理论估计。}
\subsection{模型的评价}
1. 优点
\textcolor{red}{得到满意的解、
较好地解决了$\cdots$问题、
使模型得到简化、
使结果更合理，避免…带来的较大误差、
使问题描述比较清晰、
减少大的计算量。
}
（1）问题求解中 辅之流程图， 将建模思路完整清晰的展现出来；
（2）问题二在对 问题二在对理论通行能力进修复时考虑因素 细致、全面，理论通行能力进修复时考虑因素
细致、全面，系数准确度高；
（3）在问题三中，提出“影响度”的概念较为直观地定量给小区开放后的效果，简便有．在影响度计算上由
点及面从每个路段、交叉口到整 个路网，层深入具有逻辑性；
\begin{figure}[h!t]
\centerline{\includegraphics[scale=1]{fig4.pdf}}
\caption{\song\wuhao 图~3的标题名称}
\end{figure}
（4）运用多种数学软件（如 MATLAB、SPSS），取长补短，使计算结果更加），取长补短，使计算结果更
加 准确、明晰．
2. 缺点
\textcolor{red}{主观性过强、
建立在什么的前提条件下、
有一定的局限性、
存在不确定性、
有一定的偏差。
}
（1）在数学软件的计算中会将小数计算 结果进行保留，使得随后的会将小数计算 结果进行保留，使得随后
的或统计结果造成一定误差；
（2）问题二求解修正通行能力时多次使用了查表，操作不够简便．
\subsection{模型的、模型的 推广}
\begin{itemize}
\item \textcolor{red}{对本文中的模型给出比较客观的评价，必须实事求是，有根据，以便评卷人参考。}
\item \textcolor{red}{推广和优化，需要花费功夫想出合理的、甚至可以合理改变题目给出的条件的、不一定可行但是具有一定想象空间的准理想的方法、模型。由此做出一些改进方向，也可以是参赛者一些来不及实现的思路。}
\end{itemize}
1. 问题二中 建立 的模型 在现实 生活 中可以 作为 检验 数据 对实测数据 的准确 性进行 检验，帮助 人们
更好 的测算 交通 数据．
2. 基于问题三建立的模型，可以根据道路实时检测数（某段单位间内 基于问题三建立的模型，推算新建
一条道路对于当前交 通状况的改善效果，帮助度等）．
\section{模型的改进}
\subsection{模型一的改进}
针对问题二中的模型一，在具体求解大型车对车辆通行能力的修正系数时，
我们利用交通量的测算值对照得到相应的大型车修正系数．但是，在实际操作中
交通量的测定有很大的难度，如果此时交通量数据无法得到，那么我们便不能得
到相应的修正系数，因此我们对模型进行改进．
由~GREENSHIELD K-V 线性模型，可得通行能力的公式：
\begin{align}
A_{p}=\begin{cases}
\dfrac{3600}{t}\left(1-\dfrac{3.6 l}{V_{t} t}\right)\left(V_{f}>7.2 l / t\right) \\
\dfrac{250 V_{f}}{t}\left(V_{f} \leq 7.2 l / t\right)
\end{cases}
\end{align}
对应的临界车辆速度:
\begin{align}
V_{p}=\begin{cases}
\dfrac{V_{f}-3.6 l}{t} & \left(V_{f}>7.2 l / t\right) \\
\dfrac{1}{2} V_{f} & \left(V_{f} \leq 7.2 l / t\right)
\end{cases}
\end{align}
由美国道路通行能力准则可得，美国将道路服务水平分为六级：A-F 级，而
我国目前针对当前国情，将道路服务水平分成四级：一级相当于美国的A、B 两
级；二级相当于美国的C 级；三级相当于美国的D 级；四级相当于美国的E、F
级。因此，相应的，将美国服务水平划分标准进行针对性修正，得到中国道路服
务水平划分标准，见表
\begin{table*}[h!]
\centering
\small
\tabcolsep 2pt
\caption{我国服务水平划分标准}
\begin{tabular*}{0.87\linewidth}{p{60pt}<{\centering}p{40pt}<{\centering}
p{40pt}<{\centering}p{40pt}<{\centering}p{40pt}<{\centering}
p{80pt}<{\centering}p{40pt}<{\centering}}
\toprule
服务水平 (L0S) & \multicolumn{2}{c} {一级 } & 二级 & 三级 & \multicolumn{2}{c} {四级 } \\
\cline{2-3}\cline{6-7}
服务交通量 & 800 & 1200 & 1800 & 2500 & $A_{D}$ & $\leqslant A_{P}$ \\
速度 km / h & 120 & 120 & 120 & 120 & $\geqslant V_{p}$ & $\leqslant V_{p}$ \\
V / C & 0.33 & 0.48 & 0.71 & 1.0 & $A_{p} / A_{\max}\leqslant 1.0$ & -(无意义 ) \\
\bottomrule
\end{tabular*}
\end{table*}
由于车流量的测算相对于交通量来说较易得到，我们便可以不用对交通量进
行测算，可以通过车流量与通行能力的比值计算出~V/C 饱和度值，再通过该值对
照我国服务水平划分标准，间接得到服务交通量，从而得到大型车对通行能力的
修正系数．
\subsection{模型二的改进}
针对于问题三中的模型，在得出各个类型小区在开放后对于整个小区周边路
网交通负荷影响度后，无法判别小区开放的效果是积极的还是消极的，由此我们
可以采用~Bress 悖论的原理进行判别：在个人独立选择路径的情况下，为某路网
增加额外的通行能力（如增加路段的等），反而会导致整个路网的整体运行水平
降低的情况．
将路网进行简化如图~15：
根据推导可得： 当 $\beta_{3}/\left(\beta_{1}+\beta_{2}\right) \leq\left(\beta_{5}+\beta_{6}\right)/\beta_{4}$ 时，会发生悖论，即道路的开
通反而会加剧原有道路的交通状况．
\textcolor{red}{需重新起页，不得与论文正文内容在同一页上}
\begin{rmk}
5篇以上！
\end{rmk}
\newpage
\begin{thebibliography}{99}
\addcontentsline{toc}{section}{参考文献}
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2014.4．
\bibitem{2} 司守奎等． 数学建模算法与应用~[M]. 北京：国防工业出版社，2011.8 第一版；
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\url{http://wenku. baidu.com/view/7bc33214680203d8ce2f24c4.html}
\bibitem{6} 赵琳，邵长桥． 基于~VISSIM 的高速公路基本路段实际通行能力仿真分析~[J]. 道
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\bibitem{11} 彭驰． 物流园区交通影响分析研究~[D]. 交通运输工程，2007, 4.
\end{thebibliography}
\newpage
\begin{appendices}
\section*{}
\textbf{\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{程序一：MATLAB算道路车辆通行能力:}}
\lstinputlisting[language=Matlab]{./code/mcmthesis-matlab1.m}
\section*{}
\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{\textbf{程序二：C++ 求解路网正体影响度:}}
\lstinputlisting[language=C++]{./code/mcmthesis-sudoku.cpp}
\newpage
\def\thesection{A}
\renewcommand{\thetable}{\wuhao A-\arabic{table}}
\setcounter{table}{0}
\section*{数据表格}
\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{\textbf{表格数据：}}
\input{Appendices1}
\end{appendices}
\end{document}
%%
%% This work consists of these files mcmthesis.dtx,
%% figures/ and
%% code/,
%% and the derived files mcmthesis.cls,
%% mcmthesis-demo.tex,
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%%
%% End of file `mcmthesis-demo.tex'.