CE ouvrages géotechniques
Author:
Collin Eloy
Last Updated:
před 6 lety
License:
Creative Commons CC BY 4.0
Abstract:
Rapport CE ouvrages géotechniques
\begin
Discover why 18 million people worldwide trust Overleaf with their work.
Rapport CE ouvrages géotechniques
\begin
Discover why 18 million people worldwide trust Overleaf with their work.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Focus Beamer Presentation
% LaTeX Template
% Version 1.0 (8/8/18)
%
% This template has been downloaded from:
% http://www.LaTeXTemplates.com
%
% Original author:
% Pasquale Africa (https://github.com/elauksap/focus-beamertheme) with modifications by
% Vel (vel@LaTeXTemplates.com)
%
% Template license:
% GNU GPL v3.0 License
%
% Important note:
% The bibliography/references need to be compiled with bibtex.
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%----------------------------------------------------------------------------------------
% PACKAGES AND OTHER DOCUMENT CONFIGURATIONS
%----------------------------------------------------------------------------------------
\documentclass{beamer}
\usetheme{focus} % Use the Focus theme supplied with the template
% Add option [numbering=none] to disable the footer progress bar
% Add option [numbering=fullbar] to show the footer progress bar as always full with a slide count
% Uncomment to enable the ice-blue theme
%\definecolor{main}{RGB}{92, 138, 168}
%\definecolor{background}{RGB}{240, 247, 255}
%------------------------------------------------
\usepackage{booktabs} % Required for better table rules
\usepackage{gensymb}
%----------------------------------------------------------------------------------------
% TITLE SLIDE
%----------------------------------------------------------------------------------------
\title{GCIV2036-2 :\\ Convergence-confinement}
\subtitle{Présentation des résultats}
\author{Arthur Fanara \\ Bérengère Franck}
\titlegraphic{\includegraphics[width=4cm]{Logo.jpg}} % Optional title page image, comment this line to remove it
\institute{ULiège \\ Professeur : F. Collin\\ Assistant : G. Corman}
\date{\today}
%------------------------------------------------
\begin{document}
\scriptsize
%------------------------------------------------
\begin{frame}
\maketitle % Automatically created using the information in the commands above
\end{frame}
%----------------------------------------------------------------------------------------
% SECTION 1
%----------------------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}{Sommaire}
\tableofcontents
% possibilité d'ajouter l'option [pausesections]
\end{frame}
\section{Introduction}
\begin{frame}{Introduction}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{image.png}
\caption{Fonçage et puis d'accès}
\end{figure}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=6cm]{coupe.png}
\caption{Coupe verticale simplifiée du massif au niveau du puits}
\end{figure}
\end{frame}
\subsection{Présentation de la méthode}
\begin{frame}{Présentation de la méthode}
\begin{columns}
\begin{column}{0.54\textwidth}
\begin{itemize}
\item Le déconfinement du massif s'accompagne d'un déplacement des points situés à l'intrados :
$$f_m (\sigma , u) = 0$$
\item Le comportement mécanique du soutènement est décrit par la relation
$$f_s (\sigma , u) = 0$$
\item La méthode de convergence-confinement décrit la relation entre le massif et le soutènement et l'équilibre est donné par l'intersection des courbe de convergence et de confinement, c'est-à-dire par la solution du système constitué des deux équations précédentes.
\end{itemize}
\end{column}
\begin{column}{0.45\textwidth}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=5cm]{principe.png}
\end{figure}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}{Présentation de la méthode}
\begin{itemize}
\item Le moment auquel le soutènement est installé est important
\item La méthode permet d'étudier le problème en 1D (simplification par rapport à une étude 3D)
\end{itemize}
\vspace{0.3cm}
\underline{Hypothèses de la méthode}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Matériau homogène et isotrope
\item[$\bullet$] Champ de contraintes uniforme
\item[$\bullet$] Conditions de symétrie de révolution
\item[$\bullet$] Déformations planes dans le plan perpendiculaire à l'axe du puits
\item[$\bullet$] Pas de variation de contraintes initiales
\end{itemize}
\end{frame}
\subsection{Présentation du problème}
\begin{frame}{Présentation du problème}
\begin{columns}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\underline{But :} tracer
\begin{itemize}
\item le déplacement du massif $u_R$
\item la distribution des contraintes $\sigma_r$ et $\sigma_{\theta}$
\item les chemins de contraintes p-q et $\sigma_r - \sigma_{\theta}$
\item les courbes caractéristiques du massif et du soutènement \newline
\end{itemize}
\underline{Données}
\begin{table}
\centering
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
Données & Valeur & Unité \\
\hline
$E_b$ & 30 & GPa \\
\hline
$\nu_b$ & 0,2 & - \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\end{column}
\begin{column}{0.49\textwidth}
\begin{table}
\centering
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
Données & Valeur & Unité \\
\hline
$\gamma_{sat,sol}$ & 18 & $kN/m^3$ \\
\hline
$H_s$ & 7 & m \\
\hline
$H_A$ & 20 & m \\
\hline
$H_B$ & 30 & m \\
\hline
$E_A$ & 150 & MPa \\
\hline
$E_B$ & 800 & MPa \\
\hline
$\nu_A$ & 0,21 & - \\
\hline
$\nu_B$ & 0,26 & - \\
\hline
$c_A$ & \textbf{10} & kPa \\
\hline
$c_B$ & 100 & kPa \\
\hline
$\phi_A$ & 22 & $\degree$ \\
\hline
$\phi_B$ & 27 & $\degree$ \\
\hline
$\psi_A$ & 3 & $\degree$ \\
\hline
$\psi_B$ & 4 & $\degree$ \\
\hline
$\gamma_{sat,A}$ & 23,5 & $kN/m^3$ \\
\hline
$\gamma_{sat,B}$ & 24 & $kN/m^3$ \\
\hline
$K_{0A}$ & 0,8 & - \\
\hline
$K_{0B}$ & 1,05 & - \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}{Calcul des contraintes initiales}
Calcul de $\sigma_0$ pour chaque couche :\\
\begin{itemize}
\item[$\bullet$]$\sigma_{0A} = (\gamma_{sol} \cdot h_{sol} + \gamma_A \cdot h_A) \cdot K_{0A} = 476,8 \ kPa$ \\
\item[$\bullet$]$ \sigma_{0B} = (\gamma_{sol} \cdot h_{sol} + \gamma_A \cdot h_A + \gamma_B \cdot h_B) \cdot K_{0B} = 1381,8 \ kPa$ \newline
\end{itemize}
\end{frame}
\section{Étude élastique}
\subsection{Déplacement du massif}
\begin{frame}{Déplacement du massif}
\[\text{\textbf{Déplacement radial} :}\quad u_r (r)= \lambda \dfrac{R^2}{r} \dfrac{\sigma_0}{2G}\quad\text{où}\;r\in[R;3R]\;\text{et}\; \lambda\in[0;1]\]
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[height=4cm]{Results_ur.png}
\caption{\scriptsize{Solution théorique de la relation $u(r)$}}
\label{Results_ur}
\end{figure}
Première composante de la courbe caractéristique du massif : \[u_r(r=R) = \lambda \dfrac{\sigma_0 R}{2G}\]
%En principe, lorsque $x< 0,2R$ (près du front de taille), $\lambda$ dépend fortement du coefficient de poisson. Dans ce cas, on suppose un coefficient de poisson $\nu$ constant. (Pas étudié ici si?)
\end{frame}
\begin{frame}{Déplacement du massif}
\begin{columns}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=5.5cm]{ur_A.png}
%\caption{Déplacement du massif en A}
\end{figure}
\end{column}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=5.5cm]{ur_B.png}
%\caption{Déplacement du massif en B}
\end{figure}
\end{column}
\end{columns}
\begin{itemize}
\item Plus $\lambda$ est grand, plus le déplacement est grand
\item Plusieurs valeurs de $\lambda$ : effet du déconfinement dans chaque couche\\ $\rightarrow$ la couche A est moins rigide
\end{itemize}
\end{frame}
\subsection{Distribution des contraintes}
\begin{frame}{Distribution des contraintes}
\[\text{\textbf{Contraintes radiales} :}\quad \sigma_r(r) = \left( 1 - \lambda \dfrac{R^2}{r^2}\right) \sigma_0\]
\[\text{\textbf{Contraintes orthogonales} :}\quad \sigma_{\theta}(r) = \left( 1 + \lambda \dfrac{R^2}{r^2}\right) \sigma_0\]
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[height=3.5cm]{Results_sigmar.png}
\caption{\scriptsize{Solution théorique des relations $\sigma_r(r)$ et $\sigma_{\theta}(r)$}}
\label{Results_sigmar}
\end{figure}
Deuxième composante de la courbe caractéristique du massif : \[\sigma_r(r=R) = (1-\lambda)\sigma_0\]
\end{frame}
\begin{frame}{Distribution des contraintes}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=8cm]{sig_A.png}
\end{figure}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=8cm]{sig_B.png}
\end{figure}
\end{frame}
%on est à la périphérie du soutènement, on calcule sigma_r en fonction de lambda
%alpha -> dépend de x / corrélation avec lambda : variation x de -2R à 4R est comme variation lambda 0 à 1
%loin dans confinement = soutènement mis trop tard ou pas nécessaire
\subsection{Chemins de contraintes p-q et $\sigma_r - \sigma_{\theta}$}
\begin{frame}{Chemins de contraintes}
\underline{Chemins de contraintes $p-q$}
\[\text{\textbf{Contraintes moyennes :}}\quad p = \dfrac{\sigma_r + \sigma_{\theta}}{2}=\sigma_0\]
\[\text{\textbf{Contraintes déviatoriques :}}\quad q=\sigma_{\theta} - \sigma_r=2\lambda\sigma_0\]
\vspace{0,5cm}
\underline{Chemins de contraintes $\sigma_r - \sigma_{\theta}$}
\[\sigma_r(r=R) = \left( 1 - \lambda \right) \sigma_0\quad \text{et}\quad \sigma_{\theta}(r=R) = \left( 1 + \lambda \right) \sigma_0\]
$\rightarrow$ Contraintes radiales évoluent de manière \textbf{inversément proportionnelle} aux contraintes tangentielles\\
\[\text{En}\;\lambda=0\;:\quad\sigma_r=\sigma_{\theta}=\sigma_0\]
\end{frame}
\begin{frame}{Chemins de contraintes p-q}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{pq.pdf}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}{Chemins de contraintes $\sigma_r - \sigma_{\theta}$}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{sig.png}
\end{figure}
\end{frame}
\subsection{Courbes caractéristiques}
\begin{frame}{Courbe caractéristique du soutènement}
\[\text{Si }\;x\in[-2R;4R]\;:\quad u_R(x)=\alpha(x)\dfrac{\sigma_0R}{2G}\]
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[height=4cm]{CourbeSout.png}
\caption{\scriptsize{Déplacements en paroi en fonction de la distance au front de taille}}
\label{CourbeSout}
\end{figure}
\vspace{-0.3cm}
\[\alpha(x)=\alpha_0+(1-\alpha_0)\;a(x)\;\text{avec}\;\alpha_0=0,25\;\text{et}\;\forall x\geq0\]\[a(x)=1-\left[\dfrac{mR}{mR+x}\right]^2\;\text{avec}\;m=0,75\]
\end{frame}
\begin{frame}
\underline{Contraintes radiales :}\\
\[\text{Si}\;x<d\;:\quad \sigma_r(x)=0\]
\[\text{Si}\;x\in[d;4R]\;:\quad \sigma_r(x)=K_{sn}\dfrac{u_r(x)-u_r(d)}{R}\]
\[K_{sn}=\dfrac{E_b}{1-\nu_b^2}\dfrac{e_b}{R}\;\text{en paroi mince}\;\left(\dfrac{R}{e_b}>10\right)\]
\end{frame}
\begin{frame}{Courbes caractéristiques}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=9cm]{sig_u_A.png}
\end{figure}
\[\text{d=2m et e=20cm}\]
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=9cm]{sig_u_B.png}
\end{figure}
\[\text{d=2m et e=20cm}\]
\end{frame}
\subsection{Variation des paramètres}
\begin{frame}{Variation de la distance du soutènement}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{var_d.png}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}{Variation de l'épaisseur du soutènement}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{var_e.png}
\end{figure}
\end{frame}
\section{Étude élastoplastique}
\subsection{Critère de Mohr-Coulomb et comportement élastoplastique}
\begin{frame}{Critère de Mohr-Coulomb}
\[\tau=\sigma_n\;\tan\phi+c\]
\[\longrightarrow \sigma_c=\sigma_{\theta}-K_p\sigma_r\]
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[height=4cm]{MohrCoulomb.png}
\caption{\scriptsize{Modèle de Mohr-Coulomb}}
\label{MohrCoulomb}
\end{figure}
\vspace{-0.3cm}
\[K_p=\dfrac{1+\sin\phi}{1-\sin\phi}\;\text{et}\;\sigma_c=\dfrac{2c\;\cos\phi}{1-\sin\phi}\]
\end{frame}
\begin{frame}{Comportement élastoplastique}
Comportement \textbf{plastique parfait} (sans écrouissage ni adoucissement) :\[\lambda_e=\dfrac{1}{K_p+1}\left[K_p-1+\dfrac{\sigma_c}{\sigma_0}\right]\]
\[\text{Rayon plastique :}\quad R_p=\left\{\begin{array}{l}R\;\text{si}\;\lambda\leq\lambda_e\\ \\
R\left[\dfrac{2\lambda_e}{(K_p+1)\lambda_e-(K_p-1)\lambda}\right]^{1/(K_p-1)} \;\text{si}\;\lambda>\lambda_e\end{array}\right.\]
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[height=3cm]{RpTh.png}
\caption{\scriptsize{Évolution du rayon plastique}}
\label{RpTh}
\end{figure}
\end{frame}
\subsection{Déplacement du massif}
\begin{frame}{Déplacement du massif}
\[u_r(r)=\left\{\begin{array}{l}
\lambda\dfrac{R^2}{r}\dfrac{\sigma_0}{2G}\;\text{si}\;\lambda\leq\lambda_e\\\\
\dfrac{\lambda_e\sigma_0r}{2G}\left(F_1+F_2\left(\dfrac{r}{R_p}\right)^{K_p-1}+F_3\left(\dfrac{R_p}{r}\right)^{K+1}\right)\;\text{si}\;\lambda>\lambda_e\;\text{et}\;r\leq R_p\\\\
\lambda_e\dfrac{R_p^2}{r}\dfrac{\sigma_0}{2G}\;\text{si}\;\lambda>\lambda_e\;\text{et}\;r> R_p\end{array}\right.\]
où $F_1$, $F_2$, $F_3$ et $K$ sont des paramètres dépendant de $\nu$, $K_p$ et $\psi$.\\
On a par ailleurs calculé : \[\lambda_{e,\text{couche A}} = 0,39\]
\[\lambda_{e,\text{couche B}} = 0,52\]
\end{frame}
\begin{frame}{Déplacement du massif}
\begin{columns}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=5.5cm]{ur_A2.pdf}
%\caption{Déplacement du massif en A}
\end{figure}
\end{column}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=5.5cm]{ur_A_zoom.pdf}
%\caption{Déplacement du massif en B}
\end{figure}
\end{column}
\end{columns}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=5.5cm]{ur_B2.pdf}
%\caption{Déplacement du massif en B}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}{Rayon plastique}
\[\text{Plus $\lambda$ est grand, et plus $R_p$ est grand $\longrightarrow$ Grands déplacements}\]
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{RPlambda.pdf}
\end{figure}
\end{frame}
\subsection{Distribution des contraintes}
\begin{frame}{Distribution des contraintes}
\begin{align*}
\sigma_r(r)&=\left\{\begin{array}{l}
\left(1-\lambda\dfrac{R^2}{r^2}\right)\sigma_0\;\text{si}\;\lambda\leq\lambda_e\\\\
\left(\dfrac{\sigma_0}{K_p-1}\right)\left(2\lambda_e\left(\dfrac{r}{R_p}\right)^{K_p-1}-\dfrac{\sigma_c}{\sigma_0}\right)\;\text{si}\;\lambda>\lambda_e\;\text{et}\;r\leq R_p\\\\
\left(1-\lambda_e\dfrac{R_p^2}{r^2}\right)\sigma_0\;\text{si}\;\lambda>\lambda_e\;\text{et}\;r> R_p\end{array}\right.\\\\
\sigma_{\theta}(r)&=\left\{\begin{array}{l}
\left(1+\lambda\dfrac{R^2}{r^2}\right)\sigma_0\;\text{si}\;\lambda\leq\lambda_e\\\\
\sigma_c+K_p\;\sigma_{r,plast}\;\text{si}\;\lambda>\lambda_e\;\text{et}\;r\leq R_p\\\\
\left(1+\lambda_e\dfrac{R_p^2}{r^2}\right)\sigma_0\;\text{si}\;\lambda>\lambda_e\;\text{et}\;r> R_p\end{array}\right.
\end{align*}
\end{frame}
\begin{frame}{Distribution des contraintes}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[height=4cm]{SigTresca.png}
\caption{\scriptsize{Distribution des contraintes pour le modèle de Tresca}}
\label{SigTresca}
\end{figure}
\vspace{-0.2cm}
Dans notre cas (Mohr-Coulomb) : \[\sigma_{\theta}-\sigma_r=2c\longrightarrow \sigma_{\theta}-K_p\sigma_r=\sigma_c\]
\end{frame}
\begin{frame}{Distribution des contraintes}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=9cm]{sig_A2.png}
\end{figure}
\[\text{Pic en }r=R_p\]
\end{frame}
\begin{frame}{Distribution des contraintes}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=9cm]{sig_B2.png}
\end{figure}
\end{frame}
\subsection{Chemins de contraintes p-q et $\sigma_r - \sigma_{\theta}$}
\begin{frame}{Chemins de contraintes p-q}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{pq2.png}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}{Chemins de contraintes $\sigma_r - \sigma_{\theta}$}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{sig2.png}
\end{figure}
\end{frame}
\subsection{Courbes caractéristiques}
\begin{frame}{Courbe caractéristique du massif}
\begin{align*}
u_r(r=R)&=\left\{\begin{array}{l}
\dfrac{\lambda\sigma_0R}{2G}\;\text{si}\;\lambda\leq\lambda_e\\\\
\dfrac{\lambda_e\sigma_0R}{2G}\left(F_1+F_2\left(\dfrac{R}{R_p}\right)^{K_p-1}+F_3\left(\dfrac{R_p}{R}\right)^{K+1}\right)\;\text{si}\;\lambda>\lambda_e\end{array}\right.\\\\
\sigma_r(r=R)&=\left\{\begin{array}{l}
(1-\lambda)\sigma_0\;\text{si}\;\lambda\leq\lambda_e\\\\
\left(\dfrac{\sigma_0}{K_p-1}\right)\left(2\lambda_e\left(\dfrac{R}{R_p}\right)^{K_p-1}-\dfrac{\sigma_c}{\sigma_0}\right)\;\text{si}\;\lambda>\lambda_e\end{array}\right.\\\\
\sigma_{\theta}(r=R)&=\left\{\begin{array}{l}
(1+\lambda)\sigma_0\;\text{si}\;\lambda\leq\lambda_e\\\\
\sigma_c+K_p\;\sigma_{r,plast}\;\text{si}\;\lambda>\lambda_e\end{array}\right.
\end{align*}
\end{frame}
\begin{frame}{Courbe caractéristique du soutènement}
\underline{Déplacement radial :}\\
\[\text{Si }\;x\in[-2R;4R]\;:\quad u_R(x)=\dfrac{1}{\xi}\alpha(x)\dfrac{\sigma_0R}{2G}\]\vspace{0.7cm}
\[\dfrac{1}{\xi} = \lambda_e\left(\dfrac{R_{p,max}}{R}\right)^{K+1}\;\text{avec}\;R_{p,max}=R_p(\lambda=1)\]
\[\alpha(x)=\alpha_0+(1-\alpha_0)\;a(x)\;\text{avec}\;\alpha_0=0,25\;\text{et}\;\forall x\geq0\]\[a(x)=1-\left[\dfrac{mR}{mR+x\xi}\right]^2\;\text{avec}\;m=0,75\]
\end{frame}
\begin{frame}
\underline{Contraintes radiales :}\\
\[\text{Si}\;x<d\;:\quad \sigma_r(x)=0\]
\[\text{Si}\;x\in[d;4R]\;:\quad \sigma_r(x)=K_{sn}\dfrac{u_r(x)-u_r(d)}{R}\]
\[K_{sn}=\dfrac{E_b}{1-\nu_b^2}\dfrac{e_b}{R}\;\text{en paroi mince}\;\left(\dfrac{R}{e_b}>10\right)\]
\end{frame}
\begin{frame}{Courbes caractéristiques}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{sig_u_A2.png}
\end{figure}
\[d=2\text{m et }e=5\text{cm}\]
\end{frame}
\begin{frame}{Courbes caractéristiques}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{sig_u_B2.png}
\end{figure}
\[d=2\text{m et }e=5\text{cm}\]
\end{frame}
\subsection{Variation des paramètres}
\begin{frame}{Variation de l'épaisseur du soutènement}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{var_eA.png}
\end{figure}
\[d=2\text{m}\]
\end{frame}
\begin{frame}{Variation de l'épaisseur du soutènement}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{var_eB.png}
\end{figure}
\[d=2\text{m}\]
\end{frame}
\begin{frame}{Variation de la distance du soutènement}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{var_dA.png}
\end{figure}
\[e=5\text{cm}\]
\end{frame}
\begin{frame}{Variation de la distance du soutènement}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{var_dB.png}
\end{figure}
\[e=5\text{cm}\]
\end{frame}
\begin{frame}{Variation du module de rigidité}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{var_EbB.pdf}
\end{figure}
\[d=1\text{m et }e=5\text{cm}\]
\end{frame}
\begin{frame}{Variation de la cohésion dans le massif}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{var_cA.pdf}
\end{figure}
\[d=2\text{m et }e=5\text{cm}\]
\end{frame}
\begin{frame}{Variation de l'angle de frottement dans le massif}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{phi_A.pdf}
\end{figure}
\[d=2\text{m et }e=5\text{cm}\]
\end{frame}
\begin{frame}{Variation du rayon de plasticité $R_p$}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{Rp.pdf}
\end{figure}
\[d=2\text{m et }e=5\text{cm}\]
\end{frame}
\section{Dimensionnement}
\begin{frame}{Dimensionnement}
\begin{center}
Dimensionnement pour limiter $u_r(x)$ à 5 cm : \textbf{impossible} en A\\\vspace{0.5cm}
$\longrightarrow$ Accepter 20cm de déplacement OU Soutènement en voûtes parapluies
\end{center}
\end{frame}
\begin{frame}{Dimensionnement}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{dimA.png}
\end{figure}
\[d=1\text{m et }e=5\text{cm}\]
\end{frame}
\begin{frame}{Dimensionnement}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{dimB.png}
\end{figure}
\[d=3\text{m et }e=5\text{cm}\]
\end{frame}
\section{Conclusion}
\begin{frame}{Conclusion}
\begin{itemize}
\item Couche A la plus critique
\item Diminution du déplacement si
\begin{itemize}\scriptsize{
\item[$\bullet$] l'épaisseur du soutènement augmente
\item[$\bullet$] la distance du soutènement par rapport au front de taille diminue
\item[$\bullet$] le module de Young du béton augmente
\item[$\bullet$] la cohésion augmente
\item[$\bullet$] l'angle de frottement augmente}
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}
\end{document}