Deall y Deilliad
Author
Vince
License
Creative Commons CC BY 4.0
Abstract
This is the Welsh version of the template for Cardiff University Computing for Mathematics individual coursework
This is the Welsh version of the template for Cardiff University Computing for Mathematics individual coursework
\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{fullpage} % Package to use full page
\usepackage{parskip} % Package to tweak paragraph skipping
\usepackage{tikz} % Package for drawing
\usepackage{amsmath}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{biblatex}
\addbibresource{bibliography.bib} % Nodwch fod hwn yn wahanol i'r fersiwn Saesneg - er mwyn medu rhoi teitl Cymraeg i'r Cyferirnodau
\title{Deall y Deilliad}
\author{Vincent Knight}
\date{1984/02/14}
\renewcommand{\figurename}{Ffigwr} % Ail-enwi'r amgylchedd 'Figure' i 'Ffigwr'
\begin{document}
\maketitle
\section{Cyflwyniad}
Mae differu yn gysyniad yn Fathemateg a astudiwyd yng Nghalcwlws. Mae yna drafodaeth barhaus i weld pwy oedd y cyntaf i ddiffinio differu: Leibniz neu Newton \cite{bardi2006calculus}.
Mae differu yn galluogi cyfrifiad graddiant tangiad cromlin ar unrhyw bwynt, fel a gweler yn Ffigwr \ref{exampleplot}.
\begin{figure}[!htbp]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[domain=-2:2, color=blue] plot (\x, {1 - (\x)^2}) node[above = .5cm, right, color=blue] {$f(x)=1-x^2$};
\draw[domain=-2:2, color=red] plot(\x,-1 * \x + 1.25) node[above = .5cm, right, color=red] {Tangiad wrth $x=.5$};
\draw [thick, ->] (-3,0) -- (3,0) node [above] {$x$};
\draw [thick, ->] (0,-3) -- (0,3) node [right] {$y$};
\node at (.5,.75) {\textbullet};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{Y plot $f(x)=1-x^2$ gyda thangiad wrth $x=.5$.}\label{exampleplot}
\end{figure}
Mae differu nawr yn dechneg sy'n cael ei ddysgu i fyfyrwyr mathemateg trwy gydol y byd. Yn y ddogfen hon byddaf yn trafod rhai agweddau differu.
\section{Archwilio'r deilliad yn defnyddio Sage}
Diffiniad y terfan $f(x)$ yn $x=a$ wedi dynodi gan $f'(a)$ yw:
\begin{equation}
f'(a) = \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
\end{equation}
Fe allwch ddefnyddio'r cod canlynol yn sage i roi'r terfan uchod:
\begin{verbatim}
def illustrate(f, a):
"""
Ffwythiant sy'n cymryd ffwythiant ac yn dangos diffiniad terfannol y deilliad ar bwynt a rhoddir.
"""
lst = []
for h in srange(.01, 3, .01):
lst.append([h,(f(a+h)-f(a))/h])
return list_plot(lst, axes_labels=['$x$','$\\frac{f(%.02f+h)-f(%.02f)}{h}$' % (a,a)])
\end{verbatim}
\begin{figure}[!htbp]
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{sage1.png}
\end{center}
\caption{Y deilliad $f(x)=1-x^2$ yn $x=.5$ yn cydgyfeirio i -1 wrth i $h\to0$.}
\end{figure}
Os ydym ni eisiau plotio'r tangiad ym mhwynt $\alpha$ o'r ffwythiant, fe allwn ni defnyddio'r canlynol:
\begin{align}
y=&ax+b&&\text{(diffiniad llinell syth)}\nonumber\\
&f'(a)x+b&&\text{(diffiniad y deilliad)}\nonumber\\
&f'(a)x+f(a)-f'(a)a&&\text{(rydym yn gwybod fod y llinell yn croestorri $f$ yn $(a,f(a))$}\nonumber
\end{align}
Fe allwn gyfuno'r dull hwn gyda darn o god blaenorol i weld sut mae'r llinell tangiad yn cydgyfeirio wrth i diffiniad terfannol y deilliad cydgyfeirio:
\begin{verbatim}
def convergetangentialline(f, a, x1, x2, nbrofplots=50, epsilon=.1):
"""
Ffwythiant sy'n gwneud i linell tangiad cydgyfeirio
"""
clrs = rainbow(nbrofplots)
k = 0
h = epsilon
p = plot(f, x, x1, x2)
while k < nbrofplots:
tangent(x) = fdash(f, a, h) * x + f(a) - fdash(f, a, h) * a
p += plot(tangent(x), x, x1, x2, color=clrs[k])
h += epsilon
k += 1
return p
\end{verbatim}
Mae'r plot a ddangosir yn Ffigwr \ref{lines} yn dangos sut mae'r llinellau yn cydgyfeirio i'r tangiad go iawn $1-x^2$ wrth i $x=2$ (y llinell goch yw'r gromlin agosaf).
\begin{figure}[!htbp]
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{sage0.png}
\end{center}
\caption{Llinellau yn cydgyfeirio i'r tangiad wrth i $h\to0$.}\label{lines}
\end{figure}
Nodwch fod y plot olaf yn defnyddio diffiniad \textbf{go iawn} y deilliad ac nid y brasamcan.
\section{Casgliadau}
Yn yr adroddiad hwn rydw i wedi archwilio diffiniad y terfan, ac yn delweddu deilliad ffwythiant wrth i $h\to 0$. Mae'r cod a ddefnyddiwyd \url{https://sage.maths.cf.ac.uk/home/pub/18/} yn defnyddio gallu differu Sage yn ogystal a'i gallu plotio.
Mae yna agweddau amrywiol eraill gallaf wedi archwilio fel rheolau differu symbolaidd. Er enghraifft:
$$\frac{dx^n}{dx}=(n+1)x^{n}\text{ os yw }x\ne-1$$
Yn ogystal \^{a} hwn mae'n ddiddorol i nodi bodolaeth ffwythiannau sydd \textbf{ddim} yn ddifferadwy ym mhwynt, er enghraifft y ffwythiant $f(x)=\sin(1/x)$ sydd ddim yn ddifferadwy yn $x=0$. Dangosir plot o'r ffwythiant hwn yn Ffigwr \ref{notdiff}.
\begin{figure}[!htbp]
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{sage2.png}
\end{center}
\caption{Ffwythiant annifferadwy yn $x=0$.}\label{notdiff}
\end{figure}
\printbibliography[title=Cyfeirnodau]
\end{document}